30 Jan
2025
30 Jan
'25
1:53 p.m.
jawoll, so gefällt mir das schon eher: anfrage an deepseek: ich brauche
den sematischen abstand "gelb" zu "grün" mathematisch ausgedrückt
Thought for 21 seconds
Um den*semantischen Abstand zwischen "GELB" und "GRÜN" mathematisch
auszudrücken*, können verschiedene Modelle und Metriken verwendet
werden. Hier sind die wichtigsten Ansätze:
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1.*Farbraum-basierte Distanz (Perzeptuelle Ähnlichkeit)*
Farben lassen sich in mathematischen Farbmodellen als Vektoren
darstellen. Die Distanz zwischen Gelb und Grün kann dann
mit*euklidischer Distanz*oder*Delta-E-Metriken*berechnet werden, die die
menschliche Wahrnehmung berücksichtigen.
*Beispiel im CIELAB-Farbraum*:
*
*GELB*: Typische Koordinaten z.
B.L∗=97L∗=97,a∗=−21a∗=−21,b∗=94b∗=94(helles Gelb).
*
*GRÜN*: Typische Koordinaten z.
B.L∗=87L∗=87,a∗=−86a∗=−86,b∗=83b∗=83(sattes Grün).
Die*Delta-E-Distanz*(ΔE) berechnet sich als:
ΔE=(L2−L1)2+(a2−a1)2+(b2−b1)2ΔE=(L2−L1)2+(a2−a1)2+(b2−b1)2
Einsetzen der Werte:
ΔE=(87−97)2+(−86−(−21))2+(83−94)2≈100+4225+121≈66.5ΔE=(87−97)2+(−86−(−21))2+(83−94)2≈100+4225+121≈66.5
/Interpretation/: Ein ΔE > 5 gilt als deutlich sichtbarer Unterschied –
hier ist die Distanz sehr groß, da die Farben im CIELAB-Raum weit
voneinander entfernt sind.
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2.*Vektorraummodelle der Semantik (Word Embeddings)*
In NLP-Modellen wie*Word2Vec*oder*BERT*werden Wörter als Vektoren
kodiert. Der semantische Abstand wird dann über
die*Kosinus-Ähnlichkeit*oder*euklidische Distanz*berechnet.
*Formeln*:
*
*Kosinus-Ähnlichkeit*:
A¨hnlichkeit=v⃗⋅w⃗∥v⃗∥⋅∥w⃗∥A¨hnlichkeit=∥v∥⋅∥w∥v⋅w
(Werte zwischen -1 und 1; je näher bei 1, desto ähnlicher.)
*
*Euklidische Distanz*:
d(v⃗,w⃗)=∑i=1n(vi−wi)2d(v,w)=i=1∑n(vi−wi)2
*Beispiel mit Word2Vec (vereinfacht)*:
Angenommene Vektoren für "gelb" und "grün" in einem 3D-Raum:
*
v⃗gelb=[0.9,−0.2,0.4]vgelb=[0.9,−0.2,0.4]
*
w⃗gru¨n=[0.3,0.8,−0.5]wgru¨n=[0.3,0.8,−0.5]
*Kosinus-Ähnlichkeit*:
(0.9⋅0.3)+(−0.2⋅0.8)+(0.4⋅−0.5)0.92+(−0.2)2+0.42⋅0.32+0.82+(−0.5)2≈0.27−0.16−0.21.0⋅1.0≈−0.090.92+(−0.2)2+0.42⋅0.32+0.82+(−0.5)2(0.9⋅0.3)+(−0.2⋅0.8)+(0.4⋅−0.5)≈1.0⋅1.00.27−0.16−0.2≈−0.09
/Interpretation/: Die Begriffe sind semantisch kaum verwandt
(Ähnlichkeit nahe 0).
*Euklidische Distanz*:
(( das war, was mich vorerst besonders interessiert: die euklidische
distanz ... , wobei ich seinerzeit diese euklidische distanz für die
minimale euklidische perzeptions-differenz nicht bei 1.56 sondern aus
bestimmten gründen bei 1,61 festgelegt hatte - nun hat deepseek zu
seiner entschuldigung aber mit bestimmten grün- und gelb- tönen
berechnet (helles gelb + sattes grün), sodass ich meinen wert 1,61
weiterhin vertreten kann - mein wert 1,61 hat insofern die "nagelprobe"
erstmal bestanden !, sodass ich ==> die generell notwendige semantische
distanz zwischen zwei perzeptionsereignissen, um die unterscheiden zu
können <== , weiterhin bei 1,61 belassen kann ))
(0.9−0.3)2+(−0.2−0.8)2+(0.4−(−0.5))2≈0.36+1.0+0.81≈1.56(0.9−0.3)2+(−0.2−0.8)2+(0.4−(−0.5))2≈0.36+1.0+0.81≈1.56
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3.*Mengentheoretischer Ansatz (Feature Overlap)*
Hier werden semantische Merkmale beider Begriffe verglichen.
Der*Jaccard-Index*quantifiziert die Ähnlichkeit:
Jaccard-A¨hnlichkeit=∣A∩B∣∣A∪B∣Jaccard-A¨hnlichkeit=∣A∪B∣∣A∩B∣Jaccard-Distanz=1−∣A∩B∣∣A∪B∣Jaccard-Distanz=1−∣A∪B∣∣A∩B∣
*Beispiel*:
*
AGELB={warm,hell,Sonne,Warning}AGELB={warm,hell,Sonne,Warning}
*
BGRU¨N={natu¨rlich,hell,Wachstum,Natur}BGRU¨N={natu¨rlich,hell,Wachstum,Natur}
*
Schnittmenge:{hell}{hell}
*
Vereinigungsmenge:{warm,hell,Sonne,Warning,natu¨rlich,Wachstum,Natur}{warm,hell,Sonne,Warning,natu¨rlich,Wachstum,Natur}
Jaccard-Distanz=1−17≈0.86Jaccard-Distanz=1−71≈0.86
/Interpretation/: Hohe Distanz (0 = identisch, 1 = vollständig verschieden).
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4.*Taxonomische Distanz (WordNet/Hierarchien)*
In semantischen Netzen wie*WordNet*kann die Distanz über die Pfadlänge
im Hyperonym-Baum berechnet werden:
Distanz=11+Pfadla¨ngeDistanz=1+Pfadla¨nge1
*
*Beispiel*:
o
"Gelb" und "Grün" sind beide direkte Hyponyme von
"Farbton".
o
Pfadlänge = 2 (Gelb → Farbton ← Grün).
Distanz=11+2≈0.33Distanz=1+21≈0.33
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5.*Fazit: Welche Metrik ist relevant?*
*
*Farbwahrnehmung*: ΔE ≈ 66.5 (sehr großer Abstand).
*
*Word Embeddings*: Kosinus-Ähnlichkeit ≈ -0.09 (geringe Ähnlichkeit).
*
*Mengenbasierte Distanz*: Jaccard ≈ 0.86 (hohe Distanz).
*
*Taxonomie*: ≈ 0.33 (moderate Distanz).
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Zusammenfassung als Gleichung:
Der semantische Abstanddsemdsemhängt vom gewählten Modell ab:
dsem(GELB,GRU¨N)={ΔE(Farbraum)1−Kosinus-A¨hnlichkeit(Word Embeddings)Jaccard-Distanz(Merkmalssets)dsem(GELB,GRU¨N)=⎩⎨⎧ΔE1−Kosinus-A¨hnlichkeitJaccard-Distanz(Farbraum)(Word Embeddings)(Merkmalssets)
In der Praxis wird oft eine*Kombination von Metriken*verwendet, um
Kontext (z. B. Design vs. Sprache) zu berücksichtigen. Möchtest du
Details zu einem bestimmten Ansatz vertiefen? 🧮
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