2 May
2025
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12:21 p.m.
Am 01.05.2025 um 10:10 schrieb Ingo Tessmann über
PhilWeb <philweb(a)lists.philo.at>at>:
Bildet man eine zufällige Teilmenge der natürlichen Zahlen, so ist sie dennoch nicht
zufällig verteilt; denn nach dem Satz von Szemeredi werden in solchen Mengen geordnete
Strukturen gefunden – sogenannte arithmetische Progressionen wie 5, 10, 15, 20, 25.
Bemerkenswert ist: Der Satz gilt für jede ausreichend große Teilmenge mit positivem
'Anteil', unabhängig davon, wie sie gewählt wurde. Struktur lässt sich also nicht
vollständig zerstören – solange die Menge groß genug ist. Was 'groß genug‘ genau
heißt, ist bei vielen Problemen noch unklar.
Was nicht alles aus der Zähltätigkeit hervorgebracht wurde: Eine bemerkenswerte Beziehung
gibt es zwischen der kombinatorischen Zahlentheorie und der Theorie dynamischer Systeme;
denn der Satz von Szemeredi kann äquivalent zum Wiederkehrsatz aus der Ergodentheorie
formuliert werden. D.h. in hinreichend großen Zahlenbereichen hat die additive Struktur
die ewige Wiederkehr des Gleichen zur Folge. Das Alter des Universums oder die Atomzahl in
ihm ist allerdings viel zu klein verglichen mit sehr großen Zahlen:
https://web.mit.edu/yufeiz/www/papers/szemeredi.pdf
<https://web.mit.edu/yufeiz/www/papers/szemeredi.pdf>
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