Ich finde es klasse, wie du versuchst, die Diskussion am laufen zu halten, damit etwas brauchbares herauskommt, auch wenn mir dieses Thema nicht so liegt. Obwohl es nicht das lebensfremde Glasperlenspiel ist, für das ich es zunächst gehalten hatte. Welches Kind kennt solche Gedanken nicht: Wie geht es hinter dem Ende der Welt weiter? Überhaupt nicht, sonst wäre es ja nicht das Ende der Welt. Nicht einmal leerer Raum dürfte da sein. Da setzt dann das Vorstellungsvermögen aus. Was ich an der Bibliothek nicht verstanden habe: Sie soll doch alle Bücher enthalten, die jemals geschrieben werden können, indem die vorhandenen Zeichen auf jede erdenkliche Weise kombiniert werden. Müsste man nicht, wenn die Bibliothek vollständig sein soll, irgendeine Begrenzung einführen? Z.B. durch das Verbot von Zeichenwiederholungen oder eine Maximallänge der Texte? Sonst könnte man ja jederzeit einen noch nicht vorhandenen Text aus dem Ärmel schütteln, indem man einem vorhandenen etwas hinzufügt. Die Sammlung enthielte ohne Begrenzung nicht alle möglichen Texte. Mit Begrenzung enthielte sie aber z.B. nicht alle mathematischen Beweise. Die können ja ziemlich lang sein. "Unendlich" heißt wahrscheinlich unbegrenzt. Jedes neue Buch würde gleich ins Regal gestellt. Dann wäre die Bibliothek nicht von Anfang an und niemals vollständig. Ein Missverständnis drückt sich meiner Meinung nach hierin aus: "Die Bibliothek wird als präexistent und unendlich dargestellt. Aufgrund dieser Unendlichkeit enthalte sie nach Ansicht des Erzählers alle Kombinationen des Alphabets. Borges spricht von 25 Zeichen: 22 Buchstaben, Komma, Punkt und Leerzeichen des hebräischen Alphabets. Daraus resultiert die Tatsache, dass „[n]iemand eine Silbe zu artikulieren vermag, die nicht voller Zärtlichkeit und Schauer ist, die nicht in irgendeiner dieser Sprachen der gewaltige Name eines Gottes wäre."" (Wikipedia) Als ob die Zeichen eine Bedeutung enthielten, ohne daß ihnen eine zugeschrieben wird. Nur das macht ja den Unterschied zwischen natürlicher Rauchentwicklung und Rauchzeichen aus. Claus Am 9. Nov. 2019, 20:47, um 20:47, Rat Frag via Philweb <philweb(a)lists.philo.at> schrieb:

Am 09.11.19 um 20:46 schrieb Rat Frag via Philweb: Rf: Ist Unendlichkeit endlich darstellbar? Welch gelungenes Thema, insbesondere unter dem Aspekt gesehen, dass darüber bereits unendlich viel nachgedacht, diskutiert und geschrieben wurde! Will man sich also, durch diesen schönen Denkanstoß ermuntert, (wieder einmal)  in diese Thematik stürzen, ergibt sich zunächst die Frage, was man unter Unendlichkeit verstehen kann, bzw. welche diesbezügliche Begriffsdefinitionen bereits existieren. Dabei stelle ich für mich fest, wie einerseits „eingefahren“  meine Vorstellung von Endlichkeit und Unendlichkeit, bezogen auf weit zurückliegende Lernphasen und anderseits zerfahren diese im Kontext alltäglicher (immerhin durchaus als seriös zu wertende) Medienbeeinflussung  sind. Auf‘s Neue die Begrifflichkeit dieser Thematik zu rekapitulieren, führt glücklicherweise zu durchaus erweiterter Sicht darauf, beginnend mit antiken Vorstellungen, etwa Zenons Paradoxon vom Wettrennen des Achilles mit der Schildkröte.  Nach heutigem (mathematischen) Verständnis der Zusammenhänge verlieren bzw. verändern sie ihre Bedeutung, zeigen aber nach wie vor deutlich die Fallen auf, in die menschliches Denken geraten kann. Zenon hat (Verwirrung stiftend) nichts weiter als - gedanklich - eine endliche Strecke unendlich oft geteilt. Mathematisch bilden die Zeitintervalle eine unendliche Reihe, die konvergent ist und damit eine endliche Summe besitzt: nach 11, 1 Sekunden erreicht Achilles die Schildkröte. Ebenso abstrakt ist Aristoteles‘  Vorstellung von Unendlichkeit, die sich aber dennoch, zumindest in Anlehnung an seiner Begriffsdefinition von aktualer und potentieller Unendlichkeit, bis heute etabliert hat und dabei immer noch für reichlich akademischen Disput sorgt. Doch womöglich ist die von Menschen gedachte „Unendlichkeit“ letztlich „nur“ Fiktion ist, ein von ihnen geschaffenes „Denk-Konstrukt“, um damit gedanklich in eine letztlich immerwährende „Existenz“ vorzudringen zu wollen. Lebenspraktisch ist dieses Konstrukt (in ihren verschiedensten Ausformungen) absolut hilfreich und damit sinnvoll: Zuvorderst in der Mathematik, von Archimedes angefangen bis in die heutige Chaosforschung reichend. Weit vor derartig philosophischen Überlegungen war es wohl für Menschen essentiell bedeutsam, den Umgang mit Zahlensymbolik zu entwickeln (etwa die mit Keilschrift eingemeißelten Strichmuster in Tonplatten zur Zählung von Tauschgütern). Mit dem Zählen von Dingen wird man die Möglichkeit zur Bildung einer Reihe natürlicher Zahlen erkannt und darüber hinaus zu dieser Zahlenfolge ein Bildungsgesetz entwickelt haben: a_n = 1 + 2(n − 1). Das war dann eine „Urform“ von Symbol-Manipulation, die zum Erkennen unendlicher Mengen und deren Gesetzmäßigkeit hingeführt hat. Der Mensch als „animal symbolicum“, wie Cassirer es ausdrückt: Sinnstiftung durch Schaffen und Verwenden von Symbolen; Symbolisierung zur Vermittlung von Sinnlichem wie auch Geistigem. Aristoteles‘ Unterscheidung zwischen dem „Potentiell Unendlichen“ und dem „aktual Unendlichen“ bezieht sich auf das Grenzgebiet zwischen Philosophie und Mathematik, beschränkt sich auf den Umgang mit ausschließlich sinnlichen Dingen und Gegenständen; etwas Ganzes im abgeschlossenen Sinne eines Unendlichen erkennt Aristoteles nicht an und schreibt seiner Vorstellung von potentieller Unendlichkeit lediglich logische Relevanz zu: Menschliches Denken, welches schlechthin auf Raum Zeit begrenzt ist, könne nur in Teile des Kosmos und niemals in ein angenommen unendlich Ganzes eindringen. Dem kann und muss man zustimmen, was aber sicherlich nicht ausschließt, dass ein unendlich (oder eher zutreffend), grenzenlos Ganzes (im abgeschlossenen Sinn) existiert. Der zumeist religiös angenommene Bezug auf Unendlichkeit wird mit dem Begriff Ewigkeit beschrieben; definiert als „infinitas“, einer vollkommenen Wirklichkeit (Absolutheit) also, der, solchermaßen unendlich optimiert, keine darüber hinausgehende Möglichkeit mehr hinzukommen kann.  Dieser tatsächlichen, aktualen Unendlichkeit steht die Endlichkeit unseres Daseins gegenüber mit ihrer (sinnvollerweise) per se bestehenden Beschränkung menschlichen Erkennungsvermögens, da Allwissenheit jegliches irdische Menschsein unmöglich sein ließe. Im Wissen um diese Beschränktheit halten Befürworter potentieller Unendlichkeit (in Bezug auf Mathematik) daran fest, einer Zahlenmenge zwar unendlich viele Elemente natürlicher Zahlen hinzufügen zu können, die Gesamtheit einer allumfassenden (unendlichen) Menge jedoch nicht erfassbar sei und damit lediglich potentiell existiert. Man lehnt es ab, unendliche Mengen (z.B. die Menge aller natürlichen Zahlen N), als eigenständig existierende mathematische Objekte anzuerkennen. Dieser Ansicht steht m.E. kein logisches Argument entgegen, stellt aber doch nur ein abstraktes weltanschauliches Denkmodell dar. Ebenso abstrakte, wenngleich ungleich nützlichere Denk-Modelle für den lebenspraktischen Umgang mit mathematischen Problemen (von Flächen- Volumen-, Bahnberechnungen bis hin zu chaos-theorischen Modellen z.B. der Meteorologie) haben sich spätestens mit den Arbeiten von Newton, Leipniz (Infinitesimalrechnung), weiterhin Mathematiker wie Bolzano, Weierstraß, Riemann, Dedekind und vor allem Georg Cantor entwickelt. Letzterer ist in aller Munde, wenn es um Mengenlehre geht, die er gegen massiven Widerstand aus der konservativen Wissenschaftswelt und klerikalen Kreisen entworfen hat. Damit implementierte er das aktual Unendliche auf Grundlage der von ihm eingeführten transfiniten (aktual unendlicher) Zahlen in die Mathematik. Und kein Geringerer als Hilbert, drückte seine Anerkennung für diese Leistung folgend aus: "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." So wie es derzeit aussieht, kam es bis heute nicht zu  einer Vertreibung. Im Gegenteil: Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel verfassten ein schlüssiges, widerspruchsfreies Axiomsystem als Basis zu Cantors Mengenlehre, wie sie mittlerweile in allen wesentlichen mathematischen Anwendungen zum Tragen kommt. Bezogen auf das angesprochene Primzahlproblem (Frage nach der Gesetzmäßigkeit) kann man mit Euklid annehmen: „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ und dieses mit einer zunächst hypothetischen Herleitung unter der Prämisse „es gibt endlich viele Primzahlen“, beweisen: gegeben seien die Primzahlen: p 1 , p 2 , ... , p n  aus denen dann eine Zahl z gebildet wird:  z = p 1 ∙ p 2 ∙ ... ∙ p n + 1. Unter der gesicherten Grundannahme, dass jede natürliche Zahl N > 1 als ein Primzahlprodukt dargestellt und deshalb jede natürliche Zahl N durch zumindest eine Primzahl geteilt werden kann, gilt:  Es gibt zwingend eine Primzahl, die die Zahl z teilt;  z jedoch ist durch keine der Zahlen p ohne Rest (1) teilbar. Diesem Widerspruch zufolge muss die getroffene Prämisse „es gibt endlich viele Primzahlen“ verworfen werden. Demnach muss es unendlich viele (niemals aufzählbare) Primzahlen geben, welche nach Aristoteles‘ Auffassung von potentieller Unendlichkeit nur als Möglichkeit existieren; Man kann das so stehen lassen, doch es bleibt ein Unbehagen. Und dagegen gibt es Abhilfe: In derartigen, rationalem Denken unzugänglichen, Bereich von „Unendlichkeit“ aus menschlicher Perspektive einzudringen, wo Raum und Zeit ihre irdisch relevante Form verlieren, wo das Eine als das Ganze gleichermaßen unendlich klein und unendlich groß sein kann, bedeutet einen irrational-gedanklichen „Grenzübergang“ vornehmen zu müssen. Die letztlich erfolgte Anerkennung von Cantors Mengenlehre ist der Lohn für seinen Mut zu eben diesem Grenzübertritt, der im Ergebnis die gleiche Erkenntnis erbracht hat, wie die (heute meist als Esoterik verschriene) Annahme des Hermes Trismegistos: „Wie im Großen – so im Kleinen“. Das verbindende Agens ist die Form, informationstechnisch heute als „Information“ omnipräsent und doch meist nicht als in ihrer intrinsisch umfassenden Bedeutung erkannt. Solchermaßen für die Mathematik „rehabilitierte“ aktuale Unendlichkeit entspricht der (praktischen) Vorstellung eines existierenden Behältnisses bzw. eines Raumes, in dem sich unendlich viele (beliebige) Elemente befinden. Die Menge dieser Elemente ist von vornherein abgeschlossen und allumfassend. Gemäß Cantor‘scher Definition enthält diese Menge neben Zahlen und Funktionen auch die Gesamtheit mathematischer Sätze, Regeln und Definitionen. Zahlenmengen und Rechengesetze entstehen nicht erst, sie sind von jeher (eben ewig!) existent. Potentielle Unendlichkeit setzt also aktuale Unendlichkeit voraus. Theologisch gesehen, ist das Eine, Ganze (eben das Göttliche) der Ursprung, die Voraussetzung für unendliche mögliche Vielheit. So bildet sich Unendlichkeit im Endlichen ab. Bester Gruß in die Runde! - Karl PS: Es lohnt sich allemal, vom oben erwähnten Denkanstoß beflügelt, weiterhin über die Dinge zwischen Himmel und Erde nachzudenken. Und man kann sicher sein, damit wahrhaftig nicht allein zu sein: /Das Universum ist jedenfalls die Erscheinung des „Unendlichen im Endlichen“. Dabei ist zu beachten, dass nie einzelne Teile des Universums mit der Gottheit gleichgesetzt werden, sondern nur das „Eine“, das alles umfasst. Die Einzeldinge gelten als verschiedene Erscheinungen des Universums. Das „Eine“ ist als eine Art Prinzip hinter den Dingen zu verstehen . (Schleiermacher)// // //„Wenn die Materie ins Unendliche teilbar ist, so enthält sie wirklich eine unendliche Menge von Teilen, ein Unendliches, das real und aktual existiert.“ (Pierre Bayle)// / Dann also doch: /„Nicht wie die Welt ist, ist das Mystische, sondern daß sie ist“ (Wittgenstein - Tractatus)/ / / //