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Ist der Begriff des Beweises in der Mathematik eindeutig?

by Rat Frag

Hallo, ich lagere die für mich spannende Frage mal aus. Ich weiß nicht, ob die Listenteilnehmer an der Diskussion überhaupt ein vertieftes Interesse haben werden: Am Mo., 25. Aug. 2025 um 13:31 Uhr schrieb Ingo Tessmann über PhilWeb < philweb(a)lists.philo.at>: > > Am 24.08.2025 um 11:55 schrieb Rat Frag <rat96frag(a)gmail.com>: > > > > "Der Zweite Unvollständigkeitssatz wird zumeist so aufgefasst, dass Hilberts Programm, die Widerspruchsfreiheit der Mathematik oder wenigstens der Arithmetik zu beweisen, nicht durchführbar und das zweite Problem aus Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen unlösbar sei. Allerdings bezieht sich diese Schlussfolgerung auf Gödels natürliche arithmetische Darstellung der Beweisbarkeit, das Beweisbarkeitsprädikat Bew(x). Bei bestimmten künstlichen > > Modifikationen von Gödels Beweisbarkeitsprädikat gilt der Zweite Unvollständigkeitssatz nicht mehr. Eine solche Modifikation wurde zuerst von John Barkley Rosser bald nach Gödels Veröffentlichung vorgeschlagen; inzwischen versuchen Spezialisten zu klären, worin der Unterschied zwischen natürlich und künstlich eigentlich besteht." > Neben der innenmathematischen Behandlung des zweiten Unvollständigkeitssatzes gibt es noch die Fülle der außermathematischen Interpretationen. Beispielhaft verweise ich auf Enzenbergers 43-zeiliges Gedicht „Hommage à Gödel“ und die musikalische Interpretation dieses Gedichtes durch Henze in seinem 2. Violinkonzert. Das ist auch Thema in der Diss. „action music“ von Sang Myung Han, S. 117ff: Dir ist sicherlich die Modallogik vertraut mit Box [] und Diamant <>. Diese beiden Symbole werden aufeinander bezogen definiert. Für gewöhnlich wird [] dabei eine Bedeutung wie "Notwendig" zugewiesen, was in metaphysische Höhen (oder Abgründe) führt. Es gibt auch andere Interpretationen wie z. B. "Es ist geboten, dass..." (Die Verwendung der Modallogik hat gegenüber einer Lösung mittels Prädikaten offenbar eine Reihe von Vorteilen. Kurz gesagt, meidet man die Prädikatenlogik 2. Stufe.) Jetzt kann man diese Modaloperator auch deuten als "Es ist bewiesen, dass x". Wie wir dem Text, den ich zitierte, entnehmen können, ist es jetzt offenbar so, dass dieser Operator, dieser Ausdruck, leicht modifiziert werden kann. Mit dem Ergebnis, dass er andere Schlussfolgerungen erlaubt. Aber nehmen wir weitere Beispiele: *"Mathematik ist eigentlich eine ziemlich klare Wissenschaft, und üblicherweise gelangen die Mathematikhistoriker zu Schlussfolgerungen, die von ihren Kollegen geteilt werden. Aber gelegentlich liegen die Dinge schwieriger. Es scheint inmanchen Fällen eine gewisse Vagheit oder Zweideutigkeit in den mathematischen Tatsachen zu geben."* (Herbert Breger in seinem Aufsatz "Ebenen der Abstraktion - Benoulli, Leibniz und Barrows Theorem", Seite 193, aus "Form,Zahl, Ordnung: Studien zur Wissenschafts- und Technikgeschichte" Link: https://books.google.de/books?id=WjnTAmVR6qUC&lpg=PA195&hl=de&pg=PA193 ) Dort heißt es: *"unter dem Gesichtspunkt der Vorstellungen des 17. Jahrhunderts über mathematische Strenge wäre ein geometrischer Kalkuel sogar besser."* (Seite 195) Diese Aussage impliziert zumindest, dass sich die Vorstellung über mathematische Strenge im Laufe der Zeit geändert haben. Ist das nicht zumindest ein Indikator dafür, dass bei der Lehre des Begriffes möglicherweise nicht bei jedem Studenten die selbe Vorstellung geweckt wurde?

10 months, 1 week

CfA Summer School Mereology and Beyond (Lugano, Switzerland)

by events.isfi＠usi.ch

The Summer School Mereology and Beyond will take place at USI, Lugano (Switzerland) from 15 to 19 June 2026. The main instructors will be Achille Varzi (Columbia) and Claudio Calosi (Ca’ Foscari). Deadline for applications: February 15, 2026. The summer school provides a thorough survey of both classical mereology and beyond. ‘Beyond’ is articulated in three different ways: by providing alternatives, strengthenings, and extensions of classical mereology. All the sessions investigate both technical details and metaphysical issues that arise from those technical details. How to apply: Application is open to graduate students and early career researchers. Please send a copy of your CV, a one-page motivation letter and a reference letter from a supervisor or colleague to summerschool.isfi(a)usi.ch. Accepted participants will have the possibility to send a short abstract for consideration to present some of their research at the summer school. For more information and the provisional schedule: www.usi.ch/mereology<https://www.usi.ch/en/education/summer-winter-school/mereology> For any questions: summerschool.isfi(a)usi.ch<mailto:summerschool.isfi@usi.ch>

10 months, 3 weeks

REMINDER: Lugano Philosophy Colloquia (Hybrid)

by events.isfi＠usi.ch

We are pleased to announce that on Friday, December 12 at 4.30pm (CET), Marco Santambrogio (University of Parma) will give the talk On the Creation of Some Abstract Artefacts as part of the Lugano Philosophy Colloquia Fall 2025 organised by the Institute of Philosophy (ISFI) at USI. This hybrid talk will take place in Room Multiuso FTL Building (USI west campus) and online via Zoom. If you are interested in joining online, please write to events.isfi(a)usi.ch. Here is the abstract of the talk: How are abstract artefacts—assuming they exist—brought into being? Focusing on such examples as the chess queen, the senate of a constitutional state, and the fictional character Sherlock Holmes, it is argued that these entities are created through speech acts of stipulation, which are governed by a principle first introduced by Frege in Begriffsschrift. According to this principle, sentences initially used to make a stipulation can subsequently be used to make true assertions. This principle not only accounts for the creation of stipulated entities, but also explains why sentences such as “Sherlock Holmes is a detective”—unprefixed by locutions like ‘fictionally’ or ‘in the story’—can truthfully report what holds in Conan Doyle’s stories. Although such sentences ascribe properties of flesh-and-blood human beings to abstract objects, no category mistake is involved, it is argued, since predicates like ‘being a detective’ undergo a meaning transfer (in Geoffrey Nunberg’s sense). Finally, a classification of stipulative speech acts is offered within a Searlean framework.

10 months, 3 weeks

Lugano Philosophy Colloquia (Hybrid)

by events.isfi＠usi.ch

10 months, 3 weeks

Lugano Philosophy Colloquia (Hybrid)

by events.isfi＠usi.ch

We are pleased to announce that on Friday, December 5 at 4.30pm (CET), Lorenzo Rossi (University of Turin), jointly with Johannes Stern (University of Bristol), will give the talk Supervaluational Truth and Quantifiers as part of the Lugano Philosophy Colloquia Fall 2025 organised by the Institute of Philosophy (ISFI) at USI. The talk will be chaired by Léon Probst. This hybrid talk will take place in Room 0.5 FTL Building (USI west campus) and online via Zoom. If you are interested in joining online, please write to events.isfi(a)usi.ch. Here is the abstract of the talk: Quantification has long been both a stumbling block and a testing ground in semantics. Building on Frege, Tarski developed the modern model-theoretic semantics for first-order logic (FOL), but many quantifiers (because of the Compactness and Löwenheim–Skolem Theorems) cannot be expressed within FOL. Mostowski and Lindström extended Tarski’s framework to capture quantifiers such as “finitely many” and “most”, giving rise to Generalized Quantifier Theory (GQT), now a standard tool in formal and natural language semantics. Still, challenges remain, especially where semantic indeterminacy arises. We focus on three sources of indeterminacy: (P) presupposition failure, (V) vagueness, and (L) semantic paradoxes. To address them, we propose a general framework for quantifier semantics in the presence of indeterminacy, and we develop two formal systems that (a) meet key desiderata for handling P, V, and L, and (b) recover a substantial fragment of GQT. For more information: https://www.usi.ch/en/feeds/32641

11 months

Lugano Philosophy Colloquia (Hybrid)

by events.isfi＠usi.ch

11 months

REMINDER - Lugano Philosophy Colloquia (Hybrid)

by events.isfi＠usi.ch

We are pleased to announce that on Wednesday, November 26 at 5.00pm (CET), Ulrich Meyer (Colgate University) will give the talk Brute Facts as part of the Lugano Philosophy Colloquia Fall 2025 organised by the Institute of Philosophy (ISFI) at USI. This hybrid talk will take place in Room A23 Red Building (USI west campus) and online via Zoom. If you are interested in joining online, please write to events.isfi(a)usi.ch. Here is the abstract of the talk: This paper defends brute facts against recent attempts at resuscitating the Principle of Sufficient Reason by Michael Della Rocca, Gordon Belot, Shamik Dasgupta, and others. For more information: https://www.usi.ch/en/feeds/32641

11 months, 1 week

Lugano Philosophy Colloquia (Hybrid)

by events.isfi＠usi.ch

11 months, 2 weeks

Die zwei Seiten der Aufklaerung, Teil 3 nunmehr

by Rat Frag

Hallo Liste, vor einiger Zeit, am 12.07.2018 wurde über die Liste der Beitrag "Die zwei Seiten der Aufklärung" verteilt. Er ist heute noch unter diesen Link <https://lists.philo.at/hyperkitty/list/philweb@lists.philo.at/message/QSXD2…> einsehbar. Manche Leute haben mich darin für manche unglückliche Formulierung geschollten, etwa den Versuch, den Begriff "Analyse" durch "Auflösung oder Zersetzung" erklären zu wollen, was wohl unglückliche Konotationen hatten, die ich schlicht nicht bedachte. Mir ist aufgefallen, dass das Theme, welches ich hier behandelte, näherungsweise auch durch seriöse Autoren behandelt wurde, nämlich unter dem Titel "Kant and Hume on Morality <https://plato.stanford.edu/entries/kant-hume-morality/>". Ich zitiere aus dem Artikel direkt die Stelle, die mich persönlich am meisten interessiert: *"Hume offers three main arguments for this claim in *A Treatise of Human Nature *. (...)According to the first argument, 'reason alone can never be a motive to any action of the will' (T 2.3.3.1). Abstract (or demonstrative) reasoning, [...], cannot influence the will, but only assist us in our pursuit of an end we already have. (...)A second argument, which builds on the first, aims to show that reason 'can never oppose passion in the direction of the will' (T 2.3.3.1). The only thing that can oppose an impulse to action generated by one passion is a contrary impulse. (...)The third argument claims that a passion is an 'original existence', not an idea, or a mental copy of another object. Contradiction to truth and reason 'consists in the disagreement of ideas, consider’d as copies, with those objects, which they represent' (T 2.3.3.5). Therefore, a passion cannot be contrary to truth and reason."* Hume offeriert uns also drei Argumente, wieso Moral von unsere moralischen Empfindungen und nicht von unserer Vernunft her rührt: 1. Vernunft alleine kann unsere Handlungen nicht motivieren. 2. Das einzige, was einen emptionalen Impuls entgegen gesetzt werden kann, ist ein anderer emotionaler Impuls. Dieser kann aber durch Bewegungen der Vernunft ausgelöst werden. 3. Ideen oder Theorien sind Versuche, die Wirklichkeit mental abzubilden, während Leidenschaften eine orginale Existenz haben. Aus diesem Grunde können Leidenschaften nicht wahr oder falsch sein. Ich kenne nur das simplere Argument aus Humes Abhandlung über die Ethik, die im Grunde nur das Argument (1) wiedergibt. (Der Standpunkt, den Hume hier vertritt, könnte man mit Worten wie "Zweckrationalismus" oder "Voluntarismus" bezeichnen. Nach dieser Lehre setzt der Wille, oder eben die Leidenschaften, die die Willen bewegen, ein bestimmtes Ziel und die Vernunft erschöpft sich in der Auswahl der Mittel, dieses Ziel zu erreichen. Das Gegenteil wird als Intellektualismus bezeichnet. Demzufolge erkennt der Intellekt, was erstrebenswert ist, und der Wille folgt.) Was mir aufgefallen ist, ist, dass Humes Argumentaton doch nicht so evident ist, wie man sich wünschen könnte. Die Behauptung, dass nur Gefühle unser Handeln motivieren ist eine psychologische Theorie. Sie wird nicht weiter begründet oder bewiesen, der Leser bleibt auf seine Introspektion verwiesen. Das zweite Argument ist praktisch übernommen aus der von Spiniza entwickelten Psychologie in seinem Buch "Ethik auf geometrischen Wege". Das dritte Argument ist zwar richtig, setzt aber auch einige psychologische Hypothesen voraus, welche man einfach schlucken muss. Ein Anhänger des sog. "Intellektualismus" könnte behaupten, dass der Wille den Verstand folgt, wenn diese das Gute erkennt. Sobald das Gute erkannt sei, werde es angestrebt. Dies sei trivialerweise so, weil das Gute eben so definiert ist. Es könnte sehr wohl sein, dass der Verstand bei der Erkenntnis des Gutens mittelbar, über den Umweg von Leidenschaften die aktiviert werden, auf den Willen wirkt. Das bedeutet aber nicht, dass der Ausgangspunkt nicht die Erkenntnis des Guten gewsen ist. Ein Standpunkt, der so ähnlich auch Kant in dem Link in den Mund interpretiert wird. Wobei man, frei nach Nietzsche, dieses gesamte Vokabular, mit "Ideen", "Wille" und "Verstand" als getrennte mentale Instanzen, durchaus in Frage stellen sollte. Vielleicht funktioniert der menschliche Geist in Wahrheit doch anders. Wie dem auch sei, das sind die Gründe, die Hume für seine Version des "Zweckratonalismus" gibt, dann scheint dieser mir nicht auf so gefestigten Boden zu stehen. Mir scheint sich die Frage auf folgendes zu reduzieren: "Ist es, wünschenswert zu sein, eine objektive Eigenschaft, die genauso rational erkannt werden kann wie z. B. physikalische Eigenschaften, oder ist es eine subjektive Affektion in Bezug auf eine Sache?" Ich frage mich, welches mögliche Kritierium zur Beantwortung dieser Frage es wohl geben könnte. Freundlich Grüßen der, wie immer, Ratlose. P.S.: Ich muss entschuldigen, dass man dieser Mail die Eigenschaft ansieht, "mit heißer Nadel gestrickt" worden zu sein. Ich beabsichtige aber auch nicht, einen Episten zu verfassen, sondern eine Diskussion anzuregen.

11 months, 2 weeks

Open Day: Master's in Philosophy (USI, Switzerland)

by events.isfi＠usi.ch

Are you passionate about metaphysics, philosophy of physics, logic, or philosophy of mind? The Master in Philosophy (MAP) at the University of Italian Switzerland might be the best way to pursue your academic ambitions! The MAP is a 2-year English-taught Research Master focused on preparing students for applying to the most demanding PhD Philosophy programmes worldwide. * Study with outstanding professors<https://www.usi.ch/en/education/master/philosophy/professors> in small interactive classes * Programme<https://www.usi.ch/en/feeds/31545> with a clear disciplinary focus on four core areas: metaphysics, philosophy of physics, logic, or philosophy of mind * Individual tutors, chosen among the master's professors, provide regular meetings, feedback, and academic guidance * Excellent PhD placement record<https://www.usi.ch/en/education/master/philosophy/career-prospects> * Generous merit-based scholarships and student assistant positions During our open day on November 17, you will have the opportunity to experience a day as a student of the MAP. You will be able to attend lectures, speak with our current students, and take an informal (and free) lunch with the Director and the staff of the master. The lectures of the open day are from the courses Metaphysics (Profs. Claudio Calosi and Fabrice Correia) and Seminar in Contemporary Philosophy (Prof. Peter Simons). Registration is mandatory. To register and know more about the schedule of the open day, visit: https://join.usi.ch/en/master-meetings For more information about the MAP, visit usi.ch/map<http://usi.ch/map> or send an email to map(a)usi.ch<mailto:map@usi.ch>

11 months, 3 weeks

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